PROPIEDAD ASOCIATIVA Y CONMUTATIVA DE LA SUMA

La propiedad asociativa de la suma

Cuando sumamos tres o más números, da igual cómo agrupemos los sumandos para sumarlos, ya que el resultado siempre será el mismo:

(a + b) + c = a + (b + c)

Veamos un ejemplo en un problema:

En un parque había 5 abetos y 4 pinos. El jardinero ha plantado otros 6 pinos más. ¿Cuántos árboles hay ahora en total en el parque?

Podemos resolverlo agrupando los sumandos de dos maneras, pero siempre nos va a dar el mismo resultado (15). Obsérvalo en las siguientes imágenes:

Si primero sumamos los árboles que había al principio (5 + 4) y después sumamos los pinos que han plantado nuevos (6), estamos agrupando los sumandos de esta forma:

Si primero sumamos los pinos que hay en total (4 + 6) y después le sumamos los abetos (5), estamos agrupando los sumandos de esta forma:

La propiedad asociativa de la multiplicación

Cuando multiplicamos tres o más números, da igual cómo agrupemos los factores para multiplicarlos, ya que el producto siempre será el mismo:

(a × b) × c = a × (b × c)

Vamos a ver un ejemplo en un problema:

Para llevar balones nuevos a un polideportivo, han llegado 2 camiones con 10 cajas cada uno. Dentro de cada caja hay 8 balones. ¿Cuántos balones han llegado al polideportivo?

Podemos resolverlo agrupando los factores de dos maneras, pero siempre nos va a dar el mismo resultado (160). Obsérvalo en las siguientes imágenes:

Si primero multiplicamos los camiones por las cajas que tiene cada camión (2 x 10), obtendremos el número de cajas totales. Después multiplicamos por el número de balones de cada caja (20 x 8) y nos dará 160 balones en total:

Si primero multiplicamos las cajas por los balones que tiene cada caja (10 x 8), obtendremos el número de balones por cada camión. Después multiplicamos por el número de camiones (80 x 2) y nos dará 160 balones en total:

Como conclusión…

Siempre que hagas un problema en el que haya que multiplicar o sumar, acuérdate de que puedes agrupar sus elementos como mejor te venga.

La propiedad conmutativa de la suma y de la multiplicación

¿Sabías que la propiedad conmutativa nos puede ayudar a resolver más rápidamente una operación? 

Hoy vamos a ver la propiedad conmutativa de la suma y de la multiplicación.

La propiedad conmutativa nos dice que el resultado de una suma o de una multiplicación siempre es el mismo, sin importar el orden de los elementos con los que se opera. 

Vamos a verlo más detenidamente:

La propiedad conmutativa de la suma.

La propiedad conmutativa de la suma dice lo siguiente:

El orden de los sumandos no varía el resultado

Es decir, cuando tienes que resolver una suma, no importa el orden en el que coloques sus sumandos, ya que siempre obtendrás el mismo resultado. ¿Por qué ocurre esto? 

Vamos a ver un ejemplo con un problema:

Sara tenía 4 manzanas rojas en su cesta de la compra. Se encontró con Ruth, que le regaló 2 manzanas verdes. ¿Con cuántas manzanas se quedó Sara al final?

Para resolver este problema, tendremos que sumar los dos tipos de manzanas para saber cuántas hay en total. Podremos sumarlas de dos maneras distintas:

Si sumamos 4 manzanas rojas más 2 manzanas verdes, obtendremos 6 manzanas en total. Del mismo modo, si sumamos 2 manzanas verdes más 4 manzanas rojas, también obtendremos 6 manzanas en total.

Por lo tanto, da igual el orden en el que sumemos los dos tipos de manzanas, ya que siempre obtendremos como resultado 6 manzanas en total.

La propiedad conmutativa de la multiplicación.

La propiedad conmutativa de la multiplicación dice lo siguiente:

El orden de los factores no varía el producto

Es decir, cuando tengamos que resolver una multiplicación, podremos ordenar como mejor nos venga los factores, ya que siempre obtendremos el mismo producto. Vamos a ver un ejemplo con un problema:

Marcos es pastelero y hoy le han hecho un encargo de tartas para una fiesta. Le han dicho que en la fiesta habrá 4 mesas, y que en cada una de las mesas quieren colocar 2 tartas. ¿Cuántas tartas tendrá que hacer Marcos?

Para resolver este problema tendremos que multiplicar. Podemos hacerlo de dos maneras distintas:

Si multiplicamos 2 tartas que hay en cada mesa por las 4 mesas, obtendremos 8 tartas.

Si multiplicamos 4 mesas por 2 tartas que hay en cada mesa, obtendremos también 8 tartas.

Por lo tanto, da igual el orden en el que multipliquemos los dos números, ya que siempre obtendremos como resultado 8 tartas en total.

Como conclusión…

Siempre que hagas un problema en el que haya que multiplicar o sumar, acuérdate de que puedes ordenar los números como mejor te venga.